01. Ciò che appare semplice al docente (soprattutto dal punto di vista logico), non sempre lo è altrettanto per lo studente: semplicità logica non equivale a semplicità didattica.

02. È quindi importante che il docente cerchi di penetrare nel modo proprio di ragionare dello studente (e che può risultare diverso da individuo a individuo), allo scopo di trovare un linguaggio adatto alla comunicazione.

03. È altresì importante tenere conto del bagaglio culturale che lo studente già possiede, per valorizzarlo e apportare le eventuali modifiche ed integrazioni necessarie.

04. Può essere utile istituire analogie (di tipo geometrico, fisico, aritmetico) e suscitare immagini (anche per contrasto) per sollecitare l'intuizione, che sempre precede il discorso logico di sistemazione e critica.

05. L'errore (se non troppo frequente) può essere occasione di riflessione e, in ogni caso, di ricerca delle cause che l'hanno originato o favorito. Molto spesso è dovuto a:
- false interpretazioni del testo;
- disattenzione;
- superficialità.

06. Lo studente dovrà quindi maturare una capacità di controllo; il docente, da parte sua, dovrà curare con la massima attenzione la precisione e completezza del proprio linguaggio, evitando in ogni caso la classica "caccia all'errore".

07. Sarà quindi utile invitare gli studenti a frequenti discussioni, nel corso delle quali si tenterà anche di costruire adeguate definizioni di termini nuovi o proprietà.

08. Non sarà inutile che, qualche volta, lo studente inventi delle notazioni nuove per esprimere i propri concetti.

09. È importante che lo studente si accosti alla lettura di testi scientifici (e riviste) non scolastici, per appropriarsi di una adeguata terminologia ed entrare in una nuova dimensione, che è notevolmente diversa dall'esperienza comune.

l0. Quella che si chiama "mentalità scientifica" è realmente un nuovo modo di ragionare: si richiede pertanto una vera e propria "conversione" e, come tale, non può, e non deve, essere breve, né occasionale.

1l. Si tratta in sostanza di incidere sulla "persona" (personalità) e non soltanto, e superficialmente, su un apprendistato di tipo mnemonico.

l2. Il docente, consapevole di questo, deve caricarsi di una enorme responsabilità, che è prioritariamente di ordine etico-morale.

l3. Nel rispetto della piena libertà dello studente, deve aiutarlo ad evolvere in una trasformazione del modo di pensare.

l4. Ciò, infatti, non può non avere conseguenze sulla personalità nel suo complesso.

l5. La capacità di astrazione si consegue per gradi. Qui giocano un ruolo fondamentale:
- l'analogia;
- la capacità di cogliere aspetti simili in contesti diversi;
- il coraggio di ravvicinare "cose" apparentemente lontane tra loro e raggrupparle in classi.

l6. Inoltre, la comprensione di un fatto nuovo non è generalmente immediata. Bisognerà quindi riprendere certi concetti in fasi successive, anche cambiando punti di vista.

l7. Spesso, certi concetti risultano più facilmente accessibili se esaminati in una prospettiva storica.

l8. Soprattutto: si faccia capire che la matematica è bella e si educhi al senso estetico, perché non c'è posto per una matematica brutta. [Hardy]

Qualche lettura particolarmente utile (libri che hanno la loro età, ma non la dimostrano):

AA. VV., Il materiale per l'insegnamento della matematica, La Nuova Italia, Firenze, 1967

Dantzig, T., Il numero - linguaggio della scienza, La Nuova Italia, Firenze, 1967

Resnick, L.B. - Ford, W.W., Psicologia della matematica e apprendimento scolastico, SEI, Torino, 1991

Baldini, M., Epistemologia e pedagogia dell'errore, Editrice La Scuola, Brescia, 1986

Krigowska, Z., Cenni di didattica della matematica (1), Pitagora Editrice, Bologna, 1979

Hardy, G.H., Apologia di un matematico, Garzanti, Milano, 1989

Sull'uso della Storia nell'insegnamento della matematica:

AA.VV., Using History to Teach Mathematics - An International Perspective, The Mathematical Association of America, Washington, 2000

AA.VV., Vita Mathematica - Historical Research and Integration with Teaching, The Mathematical Association of America, Washington, 1996

AA.VV. Histoire des problèmes, histoire des mathématiques, Ellipse, Paris, 1993

(*) Giuliano Testa è stato docente di matematica e fisica nella suola superiore - E' collaboratore del Centro di Ricerche Didattiche "Ugo Morin" di Paderno del Grappa. E-mail autore